Công thức tính thể tích khối chóp là một kiến thức quan trọng xuyên suốt theo các em học sinh lớp 12 và trong bài thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và cả ứng dụng ngoài cuộc sống. Với 13 công thức tính thể tích khối chóp giới thiệu dưới đây sẽ giúp các em giải nhanh nhiều dạng toán liên qua, nhất là những bài thi trắc nghiệm. Chỉ cần nhớ chính xác thì việc vận dụng nó vào giải bài tập trở lên chưa bao giờ dễ dàng hơn.
Trước khi vào 13 công thức quan trọng thì bạn cần phải biết công thức tổng quát thể tích của khối chóp là gì.
1. Thể tích khối chóp
Giả sử một khối chóp có là S, đáy là một đa giác có n cạnh. Gọi:
- S là diện tích mặt đáy của hình chóp
- h là khoảng cách từ đỉnh S của khối chóp tới mặt đáy
Công thức tính nhanh thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3}.S.h$
2. Một số công thức tính thể tích khối chóp cần nhớ
Tính nhanh thể tích của khối chóp gồm 13 công thức quan trọng, chia thành 2 nhóm: khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác
2.1 Thể tích khối chóp tam giác
Trường hợp 1: Một hình chóp S.ABCD có: SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành tam diện như hình vẽ
⇒ Thể tích của hình chóp này: ${V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {2{S_1}.{S_2}.{S_3}} }}{3}$
Trường hợp 2: Cho hình chóp có các cặp cạnh vuông góc với nhau như hình vẽ và $\widehat {BSC} = \alpha ,\widehat {ASB} = \beta $
⇒ Thể tích của khối chóp này là ${V_{S.ABC}} = \frac{{S{B^3}.\sin \left( {2\alpha } \right).\tan \left( \beta \right)}}{{12}}$
Trường hợp 3: Một hình chóp tam giác đều S.ABC, biết AB = BC = AC = a và SA = SB = SC = b.
⇒ Thể tích của khối chóp tam giác này là ${V_{S.ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} – {a^2}} }}{{12}}$
Trường hợp 4:Cho hình chóp tam giác S.ABC, biết SA = SB = SC = AB = AC = BC = a và mặt bên tạo với mp đáy góc một góc α.
⇒ Đây là hình chóp đều, nên thể tích của hình chóp đều tính theo công thức ${V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}\tan \left( \alpha \right)}}{{24}}$
Trường hợp 5: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc là β.
⇒ theo lý thuyết thì các mặt bên của hình chóp này là tam giác cân ⇒ Đây là một hình chóp đều. Thể tích của khối chóp đều tính theo công thức nhanh sau: ${V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {b^3}.\sin \left( \beta \right).{{\cos }^2}\left( \beta \right)}}{4}$
Trường hợp 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó:
⇒ Thể tích khối chóp đều được xác định theo công thức nhanh ${V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}\tan \left( \beta \right)}}{{12}}$
2.2 Thể tích khối chóp tứ giác
Trường hợp 1: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b
⇒Thể tích của khối chóp tứ giác đều được tính theo công thức ${V_{S.ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt {4{b^2} – 2{a^2}} }}{6}$
Trường hợp 2: Một hình chóp S.ABCD, biết mặt đáy có AB = BC = CD = DA = a, mỗi mặt bên hợp với mặt đáy một góc là α.
⇒Đây là hình chóp đều và công thức tính thể tính ứng với hình này là: ${V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\tan \left( \alpha \right)}}{6}$
Trường hợp 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, $\widehat{SAB}=\alpha $ với α ∈ [ π/4; π/2 ].
⇒ Công thức tính thể tích khối chóp này là ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{{{\tan }^{2}}\left( \alpha \right)-1}}{6}$
Trường hợp 4:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α với α ∈ [ 0; π/2].
⇒ Thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD tính theo công thức nhanh ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{4{{a}^{3}}.\tan \left( \alpha \right)}{3\sqrt{{{\left( 2+{{\tan }^{2}}\left( \alpha \right) \right)}^{3}}}}$
Trường hợp 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Giả sử tồn tại một mặt phẳng (P):
- mp(P) đi qua điểm A.
- (P) // BC
- (P) ⊥ (SBC)
- Góc tạo bởi mặt đáy (ABC) và (P) là α.
⇒ Khi đó thể tích khối của chóp tam giác đều ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}.cot\left( \alpha \right)}{24}$
Trường hợp 6: Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a.
⇒ Khi đó: $V=\frac{{{a}^{3}}}{6}$
Trường hợp 7: Giả sử một khối tám mặt có các cạnh đều bằng a. Khi ta nối tâm của các mặt bên kề với nhau thì kết quả ta thu được một hình lập phương.
⇒ Thể tích khối chóp là $V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a có góc A bằng 1200. SA vuông góc với đáy , góc SC và đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp là:
A.$\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$ C.$\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$ D.${{a}^{3}}$
Câu 2. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn $\widehat{A}$= 60o và SA $\bot $(ABCD)
Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Câu 3. Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SB=2a , BC=a và thể tích khối chóp là a3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) là:
A.6a
B. 3a
C. $\,\,\frac{3a}{2}$
D. $\,\,\frac{\sqrt{3}a}{4}a$
Câu 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}$
D. $\frac{16\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$
Câu 5. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều SABC .
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$
C. $\frac{2}{9}{{a}^{3}}$
D. $\frac{16\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$
Câu 6. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . Tính thể tích khối chóp SABCD.
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
C. $\frac{2}{9}{{a}^{3}}$
D. $\frac{16\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}$
Câu 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và $\Delta $ SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$
C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$
D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
Câu 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại a và D; AD = CD = a ; AB = 2a,$\Delta $SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC=2a, BD=3a. tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC
A.$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{208}{217}}a$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{208}{217}}a$
C. $\sqrt{\frac{208}{217}}a$
D. $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{208}{217}}a$
Hy vọng với những công thức thể tích khối chóp đã chia sẻ ở trên có thể giúp bạn giải nhanh các bài toán liên quan một cách hiệu quả và yêu thích toán học hơn. Chúc bạn học hiệu quả và đạt kết quả cao trong bài thi THPT Quốc gia sắp tới.
