Cách tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận đứng là gì? Đường tiệm cận ngang là gì? Bài viết này sẽ giải đáp và hướng dẫn bạn tìm 2 đường tiệm cận này và đường tiệm cận xiên nữa. Ngoài lý thuyết, cuối bài viết có bài tập minh họa giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài tập chủ đề này. Chúng ta cùng theo dõi nhé!

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1.1 Cách tìm đường tiệm cận ngang

Trong một khoảng xác định của hàm số f(x), đường thẳng có phương trình y = y0 thỏa mãn ít nhất 1 trong các điều kiện:

  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f(x)$ = y0 (1)
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } $f(x) = y0 (2)

thì y = y0 được gọi là tiệm cận ngang hay đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

Tips: Muốn tìm đường tiệm cận ngang thì ta chỉ cần tìm giới hạn ở vô cực theo biểu thức (1) hoặc (2).

1.2 Cách tìm đường tiệm cận đứng

Trong một khoảng xác định của hàm số f(x), đường thẳng có phương trình x = x0 thỏa mãn ít nhất 1 trong các điều kiện:

  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } $f(x) = + ∞
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } $f(x) = – ∞
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } $f(x) = – ∞
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } $f(x) = + ∞

thì x = x0 được gọi là tiệm cận đứng hay đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

1.3 Cách tìm đường tiệm cận xiên

Trong một khoảng xác định của hàm số f(x), đường thẳng có phương trình y = ax + b; (a ≠ 0) thỏa mãn ít nhất 1 trong các điều kiện:

Đường thẳng y = ax + b; (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của hàm số y = f(x) nếu một trong hai điều kiện:

  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } $[f(x) – (ax + b)]
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } $[f(x) – (ax + b)]

Thì đường thẳng có phương trình y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên

Trong đó, hệ số a và b:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tips: Để tìm nhanh ra đáp án thì bạn cần nhớ một vài lưu ý quan trọng sau

  • Hàm đa thức là hàm không có đường tiệm cận.
  • Hàm số có đường tiệm cận ngang nếu là hàm hữu tỉ, trong đó tử số có bật nhỏ hơn hoặc bằng mẫu số. Ngược lại là hàm có tiệm cận xiên.
  • Số nghiệm của mẫu hàm số chính là số đường tiệm cận đứng tương ứng.
  • Hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}};\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right| \ne 0$ có TCĐ $x=\frac{-d}{a}$ và TCN $y=\frac{a}{c}$
  • Hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{dx+e};a\ne 0$ có TCĐ $x=\frac{-e}{d}$ và TCX là thương phép chia tử cho mẫu.

1.4 Quy tắc tìm giới hạn vô cực

Dạng f(x).g(x)

Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty $ (hoặc$-\infty $) thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x).g(x)$ được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Dạng f(x)/g(x)

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2. Bài tập đường tiệm cận

Bài 1. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-3}\,\,(C)$. Tìm những điểm M thỏa mãn sao cho AM = 5BM. Biết AM là khoảng cách từ M đến đường tiệm cậng ngang và BM là khoảng cách từ M tới đường tiệm caanjd dứng

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Lời giải

Chọn C

Tọa độ điểm M có dạng $M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-3} \right)$

Phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là x − 3 = 0 (d1), y − 1 = 0 (d2) . Giải phương trình 5d(M, d1) = d(M, d2) tìm x0

Chọn A.

Bài 2. Đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{3x+9}\,\,$có đường tiệm cận đứng là x=a và đường tiệm cận ngang là y = b. Giá trị của số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn m ≥ a + b là

A. 0.

B. -3.

C. -1.

D. -2.

Lời giải

Chọn D

Ta có đường tiệm cận đứng là x=-3 và đường tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{3}$

Nên $a=-3,\,b=\frac{1}{3}$

Do đó m ≥ a + b ⇔ m ≥ −8/3 ⇒ m = −2

Bài 3. Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x-2}\,(C)$. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là

A. 5.

B. 10.

C. 6.

D. 2.

Lời giải

Chọn D

Tọa độ điểm $M$ có dạng $M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2} \right)$ với ${{x}_{0}}\ne 2$

Phương trình tiệm cận đứng, ngang lần lượt là x − 2 = 0 (d1), y − 2 = 0 (d2).

Ta có $d=d\left( M,{{d}_{1}} \right)+d\left( M,{{d}_{2}} \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|+\frac{1}{\left| {{x}_{0}}-2 \right|}\ge 2$

Bài 4. Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x-2}\,(C)$. Giả sử khoảng cách từ một tiếp tuyến đến giao điểm của hai đường tiệm cận đồ thị (C) là d. Hãy tìm dmax:

A. $2$.

B. $\sqrt{3}$.

C. $3\sqrt{3}$.

D. $\sqrt{2}$.

Lời giải

Chọn A

Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng $M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2} \right)$ với ${{x}_{0}}\ne 2$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\,\,\left( \Delta \right)$.

Tính d(M,Δ) ≤ 2.

Bài 5. Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x-2}\,\,(C)$. Giả sử đường tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm lần lượt là A, B. Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất từ A đến B

A. 4.

B. $3\sqrt{2}$.

C. $2\sqrt{2}$.

D. $3\sqrt{3}$.

Lời giải

Chọn A

Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng $M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2} \right)$ với ${{x}_{0}}\ne 2$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\,\,\left( d \right)$.

Tìm tọa độ giao của tiệm cận và tiếp tuyến $A\left( 2;\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2} \right),\,B\left( 2{{x}_{0}}-2;2 \right)$

Từ đó đánh giá AB ≥ 4

Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ tỉ mỉ về cách tìm đường tiệm cận mà học sinh đã học ở lớp 12. Hy vọng bài viết về chủ đề toán học này hữu ích với bạn đọc. Nếu thấy bài viết hay, hãy chia sẻ nó tới mọi người cúng biết. Chúc bạn học tập hiệu quả.