Nhị thức newton là một khái niệm toán lớp 11, nó khá mới mẻ với học sinh. Bởi vậy, hôm nay ToanC3 xin chia sẻ đến các bạn công thức nhị thức newton, các dạng toán thường gặp đồng thời mỗi phần đề có bài tập kèm lời giải.
1. Công thức nhị thức newton
1.1 Khai triển nhị thức newton
Nếu n ∈ N thì ta có khai triển quan trọng sau đây:
Trong đó:
- Trong khai triển có n + 1 số hạng
- Trong mỗi số hạng thì tổng số mũ của số hạng a và số mũ của số hạng b bằng n.
- Số hạng thứ k + 1 trong khai triển: Tk + 1 = $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$ ( k = 0, 1, 2, …, n)
- Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$
- $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$, $C_{n}^{k-1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$
1.2 Cách khai triển nhị thức newton
Nếu a, b là những giá trị đặc biệt thì ta thu được những công thức tương ứng. Như:
2. Các dạng bài tập nhị thức Newton
Dạng 1: Tìm các hệ số và số hạng
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}$ với giá trị k đã tìm được ở trên.
Trường hợp k > n hoặc k ∉ Z thì khai triển nhị thức không chưa xm, hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Số hạng chứa xm trong khai triển của nhị thức được xác định
P(x) = (a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + … + a2nx2n.
Ta làm như sau:
- Viết $P\left( x \right) = {{\left( a + b{{x}^{p}} + c{{x}^{q}} \right)}^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{\left( b{{x}^{p}} + c{{x}^{q}} \right)}^{k}}}$;
- Viết số hạng tổng quát của khai triển triện (bxp + cxq)k.
- Hệ số của xm trong khai triển được tìm ra từ số hạng tổng quát
Chú ý: Trong khai triển nhị thức Niu tơn, muốn xác định hệ số lớn nhất thì ta làm như sau:
- Xác định hệ số ak
- Giá trị k lớn nhất thu được từ giải bất PT ak − 1 ≤ ak sẽ ứng với hệ số lớn nhất cần tìm
Dạng 2: Bài toán tổng $\sum\limits_{k = 0}^{n}{{{a}_{k}}C_{n}^{k}}{{b}^{k}}$.
Cách 1: Dựa vào ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + {a^{n – 1}}bC_n^1 + {a^{n – 2}}{b^2}C_n^2 + … + {b^n}C_n^n$
Những hệ quả thu được
Cách 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng ở trên.
3. Bài tập về nhị thức newton
Bài 1: Ta biết, khi khai triển (a + 2)n + 6 thì người ta đếm có 17 số hạng (n ∈ N). Hỏi n bằng bao nhiêu
A. 10.
B. 4.
C. 5.
D. 18.
Ta thấy (a + 2)n + 6, có mũ là (n + 6) => Số hạng sẽ là [( n + 6) + 1] = 17 ⇔ n = 10.
Bài 2: Hệ số hạng chính giữa của khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$ là
A. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.
B. $-{{4}^{8}}.C_{10}^{4}$.
C. ${{5}^{7}}.C_{10}^{5}$.
D. ${{5}^{6}}.C_{10}^{4}$.
Có tổng cộng 11 số hạng trong khai triển nhị thức (3x2−y)10, nên số hạng thứ 6 là chính giữa.
Khi đó, hệ số của số hạng thứ 6 ( chính giữa ) là $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.
Bài 3: Trong khai triển ${{\left( {{a}^{2}} + \frac{1}{b} \right)}^{7}}$, số hạng thứ 5 là:
A. 35.a6.b−4.
B. −35.a6.b−4.
C. 35.a4.b−5.
D. −35.a4.b.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k + 1}} = C_{7}^{k}.{{a}^{14-2k}}.{{b}^{-k}}$
Vậy số hạng thứ 5 là ${{T}_{5}} = C_{7}^{4}.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}} = 35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$
Bài 4: Hãy tìm tổng hai số hạng cuối trong khai triển nhị thức niuton của ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}}$
A. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}} + {{y}^{8}}$.
B. $x\sqrt{{{y}^{11}}} + {{y}^{10}}$.
C. $3x{{y}^{2}} + {{y}^{1}}$.
D. $16x{{y}^{8}} + {{y}^{15}}$.
Ta có: ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}} = C_{16}^{0}{{x}^{16}}-C_{16}^{1}{{x}^{15}}.\sqrt{y} + …-C_{16}^{15}x{{\left( \sqrt{y} \right)}^{15}} + C_{16}^{16}{{\left( \sqrt{y} \right)}^{16}}$
Bài 5: Tính giá trị của tổng $S\text{ } = \,\,C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + .. + C_{6}^{6}$ bằng:
A. 64.
B. 48.
C. 72.
D. 100.
$\text{S = }\,\,\text{C}_{\text{6}}^{\text{0}}\text{ + C}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{ + }…\text{ + C}_{\text{6}}^{\text{6}} = {{2}^{6}} = 64$
Bài 6: KKhai triển (x + y)5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S = \,\,C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + … + C_{5}^{5}$
A. 32.
B. 64.
C. 1.
D. 12.
Với $x = 1,y = 1$ ta có $\text{S = }\,\,\text{C}_{\text{5}}^{\text{0}}\text{ + C}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{ + }…\text{ + C}_{\text{5}}^{\text{5}} = {{(1 + 1)}^{5}} = 32$.
Bài 7: Cho ${{S}_{3}} = 2.1.C_{n}^{2} + 3.2C_{n}^{3} + 4.3C_{n}^{4} + … + n(n-1)C_{n}^{n}$. Hãy tính S3.
A. n(n + 3)2n−2
B. n(n – 2)2n−2
C. n(n − 1)2n−2
D. n(n + 1)2n + 2
Ta có $k(k-1)C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!} = n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$
$\Rightarrow {{S}_{3}} = n(n-1)\sum\limits_{k = 2}^{n}{C_{n-2}^{k-2}} = n(n-1){{2}^{n-2}}$.
Bài 8: Tính tổng sau: ${{S}_{1}} = {{5}^{n}}C_{n}^{0} + {{5}^{n-1}}.3.C_{n}^{n-1} + {{3}^{2}}{{.5}^{n-2}}C_{n}^{n-2} + … + {{3}^{n}}C_{n}^{0}$
A. 28n
B. 1 + 8n
C. 8n−1
D. 8n
Ta có: S1 = (5 + 3)n = 8n
Bài 9: Tính tổng ${{S}_{3}} = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + … + nC_{n}^{n}$
A. 4n.2n−1
B. n.2n−1
C. 3n.2n−1
D. 2n.2n−1
Ta có: $kC_{n}^{k} = k.\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$$ = n\frac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!} = nC_{n-1}^{k-1}$, $\forall k\ge 1$
$\Rightarrow {{S}_{3}} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{nC_{n-1}^{k-1}} = n\sum\limits_{k = 0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}} = n{{.2}^{n-1}}$.
Trên đây là toàn bộ chia sẻ nhị thức newton 11 liên quan tới các khai triển thường gặp, các dạng toán và bài tập rèn luyện kĩ năng giải. Mong rằng bài viết này đã giúp ích được bạn. Chúc bạn học tốt!
