Trong cuộc sống, bạn gặp khá nhiều vật có hình trụ nhưng có thể không nhớ diện tích xung quanh hình trụ hoặc diện tích toàn phần hình trụ được tính theo công thức như thế nào? Nếu vậy hãy tham khảo bài viết này để nhớ công thức đó nhé. Ngoài ra, ứng với mỗi công thức diện tích hình trụ sẽ có phần vận dụng giúp rèn luyện kĩ năng giải bài tập.
1. Hình trụ là gì?
Là hình được tạo ra khi có một đường thẳng ℓ quay xung quanh một trục OO’ cho trước. Biết rằng ℓ // OO’ và cách OO’ là R = const. Ta gọi:
- ℓ là đường sinh
- OO’ là trụ quay
- R là bán kính của hình trụ tròn
Như vậy thì các đáy hình trụ là hình tròn, song song và có diện tích bằng nhau.
Khối trụ là hình trụ và phần lõi bên trong của hình trụ.
2. Diện tích xung quanh hình trụ
Từ hình vẽ, ta thấy
- Đường cao h = OO’
- Đường sinh ℓ = AD = BC = h
- Bán kính đáy r = OA = OB = O’C = O’D
- Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai điểm O, O’
- Thiết diện qua trục là hình bình chữ nhật ABCD
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq = 2πr.h
3. Diện tích toàn phần hình trụ
Ta thấy:
- Chu vi đáy p = 2πr
- Diện tích đáy Sđ = πr2
Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2Sđ = 2πr.h + 2πr2
4. Bài tập
Bài 1: Một hình chứ nhất ABCD có chiều dài AB = 4 và chiều rộng BC = 2. Giả sử điểm P ∈ AB và điểm Q ∈ CD sao cho QC = QD/3; BP = 1. Khi cho hình chữ nhật DAPQ quay xung quanh PQ thì nó tạo thành một hình trụ tròn xoay. Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay này
A. 3,5π
B. 24π
C. 13π
D. 12π
Gợi ý
Ta thấy hình trụ tròn xoay có
- Chiều cao h = PQ = 2
- Bán kính mặt đáy r = AP = 3
Vậy, diện tích xung quanh tính theo công thức Sxq = 2.π.r.h = 2.π.3.2 = 12π
Đáp án là D.
Bài 2: Một chiếc mũ vải có kích thước như hình vẽ. Giả sử phần trên có dạng hình trụ. Hãy tính diện tích vải cần phải sử dụng để hoàn thành chiếc mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).
A. 756,25π (cm2)
B. 854π (cm2)
C. 562,33π (cm2)
D. 123π (cm2)
Gợi ý
Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πr.h = 2π.7,5.30 = 450π (cm2)
Diện tích đáy: Sđ = π.r2 = π.7,52 = 56,25π(cm2)
Diện tích vành khăn: Svành khăn = π(d2 – r2) = π.(17,52 − 7,52) = 250π(cm2)
Diện tích vải cần sử dụng là S = Sxq + Sđ + Svành khăn = 756,25π(cm2)
Đáp án là A.
Bài 3: Một hình chữ nhật ABCD cho trước. Nếu
- Quay ABCD quanh CD thì người ta tính được diện tích toàn phần khối trụ là S1.
- Quay ABCD quanh AD thì người ta tính được diện tích toàn phần khối trụ là S2.
Biết AB = nAD. Hãy tìm mối liên hệ giữa S1 và S2.
A. (n +1)S2 =S1
B. S1 = (n + 2)S2
C. S1 =(n – 1)S2
D. n.S1 = S2
Gợi ý
Ta biết: S toàn phần = S xung quanh + S 2 đáy = 2πrh + 2πr2
Trường hợp 1: Khi quay quanh cạnh CD thì bán kính là r1 = AD và đường cao là h1 = AB
Diện tích toàn phần: S toàn phần = S xung quanh + S 2 đáy = 2πAD.AB + 2π.AD2= 2π(nAD2 + AD2) (1)
Trường hợp 2: Khi quay quanh cạnh AD thì bán kính là r2 = AB và đường cao là h1 = AD
Diện tích toàn phần: S toàn phần = S xung quanh + S 2 đáy = 2π(nAD2 + n2AD2) (2)
Từ (1), (2), ta có tỉ số: $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{n + 1}}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{n}$
Đáp án là D.
Bài 4: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Xét hai mặt cầu sau:
- Trường hợp 1: Mặt cầu nội tiếp hình trụ có diện tích S1 (hình trái).
- Trường hợp 2: Mặt cầu ngoài tiếp hình trụ có diện tích S2 (hình phải)
Tìm tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$.
A. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{1}{2}$
B. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{1}{5}$
C. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=10$
D. $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{5}{3}$
Gợi ý
Vì thiết diện của hình trụ là vuông, giả sử cạnh nó là a.
- Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ S1 = πa2
- Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ S2 = 2πa2
Tỉ số: $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{1}{2}$.
Đáp án B..
Bài 5: Cho hình trụ có đường cao h = 5cm, bán kính đáy r = 3cm. Xét mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ, cách trục 2cm. Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng (P).
A. $S=5\sqrt{5}c{{m}^{2}}$.
B. $S=6\sqrt{5}c{{m}^{2}}$.
C. $S=3\sqrt{5}c{{m}^{2}}$.
D. $S=10\sqrt{5}c{{m}^{2}}$.
Gợi ý
Giả sử mặt phẳng (P) cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ
nhật ABB′A′ như hình vẽ.
Gọi OH⊥AB tại H, khi đó OH=2cm.
Trong ΔOHA có $HA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Khi đó $AB=2HA=2\sqrt{5}$.
Vậy diện tích của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng $\left( P \right)$ là ${{S}_{AB{B}'{A}’}}=AB.A{A}’=2\sqrt{5}.5=10\sqrt{5}$.
Chọn đáp án D.
Bài 6: Một khối trụ M ngoại tiếp hình lăng trụ N. Biết lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3a và cạnh bên 4a. Hãy tính diện tích toàn phần khối trụ M này.
A. ${a^2}\pi \left( {8\sqrt 3 + 6} \right)$
B. ${a^2}\pi $
C. $a\pi \left( {8\sqrt 3 + 3} \right)$
D. ${a^2}\pi \left( {8\sqrt 3 + 1} \right)$
Gợi ý
Vì đáy lăng trụ là tam giác đều nên khoảng cách từ tâm tam giác tới đỉnh chính bằng bán kính khối trụ:
R = OA = $\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{AH = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.\frac{{{\rm{3a}}\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}} = a\sqrt 3 $
Dựa theo công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có: ${S_{xq}} = 2.\pi .a\sqrt 3 .4a = 8\sqrt 3 .\pi {a^2}$(đvdt)
Diện tích toàn phần của hình trụ : ${{\text{S}}_{\text{tp}}}\text{ }$ = Sxq +2.Sđ =$8\sqrt{3}.\pi {{a}^{2}}+6{{a}^{2}}\pi ={{a}^{2}}\pi \left( 8\sqrt{3}+6 \right)$
Chọn đáp án A.
Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần hình trụ, nó thật đơn giản đúng không nào. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình giải toán. Chúc bạn học tốt!
