Để làm tốt các bài tập lượng giác thì việc nhớ chính xác các công thức lượng giác là cần thiết. Bởi vậy, chúng tôi đã biên soạn bài viết này giúp bạn hệ thống từ những công thức căn bản cho tới những công thức nâng cao. Một điểm đặc biệt là phần cuối có bài tập lượng giác kèm lời giải chi tiết để bạn rèn luyện kĩ năng giải bài cũng nhưng tự kiểm tra xem mình đã học và nhớ được bao nhiêu công thức. Hãy bắt đầu ngay bây giờ nào.
1. Bảng giá trị lượng giác cần nhớ
2. Giá trị lượng giác một số góc (cung) có liên quan đặc biệt
TH1: Góc lượng giác đối nhau là α và −α
3. Bảng các công thức lượng giác cơ bản
3.1 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
Những tính chất quan trọng
- – 1 ≤ sinα ≤ 1, ∀α
- – 1 ≤ cosα ≤ 1, ∀α
- sin(α + k2π) = sinα, k ∈ Z
- cos(α + k2π) = cosα, k ∈ Z
- tan(α + k2π) = tanα, k ∈ Z
- cot(α + k2π) = cotα, k ∈ Z
Một số hệ thức cơ bản thường sử dụng giải bài tập
3.2 Các công thức lượng giác quan trọng
Công thức cộng lượng giác
4. Bài tập lượng giác có lời giải
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: $A=\sin \frac{7\pi }{6}+\cos 9\pi +\tan (-\frac{5\pi }{4})+\cot \frac{7\pi }{2}$
Lời giải
Ta có $A=\sin \left( \pi +\frac{\pi }{6} \right)+\cos \left( \pi +4.2\pi \right)-\tan \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)+\cot \left( \frac{\pi }{2}+3\pi \right)$
$\Rightarrow A=-\sin \frac{\pi }{6}+\cos \pi -\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{2}$ $ = – \frac{1}{2} – 1 – 1 + 0 = – \frac{5}{2}$
Bài 2. Cho $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Xác định dấu của các biểu thức sau: $\cos \left( -\frac{\pi }{2}+\alpha \right).\tan \left( \pi -\alpha \right)$
Lời giải
Ta có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow 0<-\frac{\pi }{2}+\alpha <\frac{\pi }{2}$ suy ra $\cos \left( -\frac{\pi }{2}+\alpha \right)>0$
Và $0<\pi -\alpha <\frac{\pi }{2}$ suy ra $\tan \left( \pi +\alpha \right)>0$
Vậy $\cos \left( -\frac{\pi }{2}+\alpha \right).\tan \left( \pi +\alpha \right)>0$.
Bài 3. Rút gọn biểu thức $B=\frac{1+\cot x}{1-\cot x}-\frac{2+2{{\cot }^{2}}x}{\left( \tan x-1 \right)\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)}$
Lời giải
Ta có $B=\frac{1+\frac{1}{\tan x}}{1-\frac{1}{\tan x}}-\frac{2+\frac{2{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}}{\left( \tan x-1 \right)\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}$
$=\frac{\tan x+1}{\tan x-1}-\frac{2\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{\tan x-1}$ $ = \frac{{\tan x + 1 – 2}}{{\tan x – 1}} = 1$
Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$.
Bài 4. Tính giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha $ biết $\sin \alpha =\frac{1}{5}$ và $\tan \alpha +\cot \alpha <0$
Lời giải
a) Ta có ${{\cot }^{2}}\alpha +1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}}=25$ $ \Rightarrow {\cot ^2}\alpha = 24$ hay $\cot \alpha =\pm 2\sqrt{6}$
Vì $\tan \alpha $, $\cot \alpha $ cùng dấu và $\tan \alpha +\cot \alpha <0$ nên $\tan \alpha <0,\,\,\cot \alpha <0$
Do đó $\cot \alpha =-2\sqrt{6}$. Ta lại có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2\sqrt{6}}$.
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ $ \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha \sin \alpha = – 2\sqrt 6 .\frac{1}{5} = \frac{{ – 2\sqrt 6 }}{5}$
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) $\cos x-2\sin 2x=0$
b) ${{\sin }^{3}}x\sin 3x-{{\cos }^{3}}x\cos 3x=-\frac{5}{2}$
c) ${{\sin }^{2}}2x={{\cos }^{2}}2x+\cos 3x$
d) $\sin 2x.\cos 3x=\sin 5x.\cos 6x$
Lời giải
a) Phương trình $\Leftrightarrow \cos x-4\sin x\cos x=0$ $ \Leftrightarrow \cos x(1 – 4\sin x) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \sin x = \frac{1}{4} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi ,x = \pi – \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \end{array} \right.$
b) Ta có ${{\sin }^{3}}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4};$${\cos ^3}x = \frac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}$
Nên phương trình đã cho tương đương với
$\sin 3x\left( 3\sin x-\sin 3x \right)-\cos 3x\left( \cos 3x+3\cos x \right)=-\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 3\left( \sin 3x\sin x-\cos 3x\cos x \right)-1=-\frac{5}{2}$
$ \Leftrightarrow – 3\cos 4x = – \frac{3}{2} \Leftrightarrow \cos 4x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
c) Phương trình $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x-{{\cos }^{2}}2x=\cos 3x$
$\Leftrightarrow \cos 4x=-\cos 3x=\cos \left( \pi -3x \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \pi – 3x + k2\pi \\ 4x = – \pi + 3x + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{7} + k\frac{{2\pi }}{7}\\ x = – \pi + k2\pi \end{array} \right.$
d) Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ \sin 5x-\sin x \right]=\frac{1}{2}\left[ \sin 11x-\sin x \right]$
$\Leftrightarrow \sin 5x=\sin 11x\Leftrightarrow x=k\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{8}$
Trên đây là các công thức lượng giác quan trọng mà bạn cần nhớ. Nó không chỉ giúp ích bạn học tốt phần lượng giác thuộc lớp 9 bậc THCS mà lên bậc THPT như lớp 10, 11 cần đến nó để giải quyết các bài toán học nâng cao. Hy vọng bài viết này đã hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn học tốt.