Bảng công thức nguyên hàm là hệ thống những nguyên hàm thường gặp khi làm bài thi học kì hay trắc nghiệm kì thi THPT Quốc Gia. Nó gồm 2 bảng: công thức cơ bản, công thức nâng cao. Dựa vào bảng các công thức nguyên hàm này bạn có thể giải nhanh nhiều bài tập trắc nghiệm từ cơ bản, tới vận dụng hay vận dụng cao. Cụ thể những công thức đó là gì? Hãy cùng xem nội dung bài viết bây giờ.
1. Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản
Bảng này có 15 công thức, trong đó 8 công thức hàm số hợp:
Bảng này có 8 công thức, trong đó gồm có nguyên hàm e mũ x; e mũ u và nguyên hàm của hàm mũ
có 5 công thức nâng cao ứng với hàm hợp
Bảng này có 12 công thức gồm cả cơ bản; nâng cao
Hàm số ln là hàm số logarit nepe hay còn gọi là logarit tự nhiên. Bảng này gồm có 11 nguyên hàm thường gặp sau
1.2 Công thức nguyên hàm nâng cao
Dưới đây là 10 công thức nguyên hàm nâng cao. Mỗi công thức này đã được chứng minh nên bạn có thể vận dụng nó để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm
2. Bài tập nguyên hàm
Câu 1. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{2x-1}$ thỏa mãn $F\left( 1 \right)=\frac{4}{3}.$ Tìm $F\left( x \right).$
A. $F\left( x \right)=-\frac{1}{3}\sqrt{2x-1}+\frac{5}{3}.$
B. $F\left( x \right)=\frac{1}{3}\sqrt{2x-1}+1.$
C. $F\left( x \right)=-\frac{1}{3}\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}+\frac{5}{3}.$
D. $F\left( x \right)=\frac{1}{3}\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}+1.$
Lời giải
Đáp án D
Ta có $I=F\left( x \right)=\int{\sqrt{2x-1}dx}.$
Đặt $t=\sqrt{2x-1}\Rightarrow I=\int{td\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2} \right)=\int{t.tdt}=\frac{{{t}^{3}}}{3}+C}$ ${ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^3}} + C}$
Mà $F\left( 1 \right)=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}+C=\frac{4}{3}\Rightarrow C=1$ $ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^3}} + 1.$
Câu 2. Cho trước hàm số f(x) = sin5x. Hãy tìm nguyên hàm lượng giác của hàm số f(x)
A. −5cos5x+C
B. 5cos5x+C
C. $-\frac{1}{5}\cos 5x+C$
D. $\frac{1}{5}\cos 5x+C$
Lời giải
Đáp án C
Ta có $\int{\sin 5\text{xdx}}=-\frac{\cos 5x}{5}+C$.
Câu 3. Gọi F(x) là nguyên hàm trên R của hàm số f(x) = x2eax (a ≠ 0), sao cho $F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.$ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. 1 < a < 2.
B. a < −2.
C. a ≥ 3.
D. 0 < a ≤ 1.
Lời giải
Đáp án D
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx=\int{{{x}^{2}}{{e}^{ax}}dx.}}$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{ax}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{a}{e^{ax}} \end{array} \right..$
$F\left( x \right)=\frac{1}{a}{{x}^{2}}{{e}^{ax}}-\frac{2}{a}\int{x}{{e}^{ax}}dx=\frac{1}{a}{{x}^{2}}{{e}^{ax}}-\frac{2}{a}{{F}_{1}}\left( x \right)$ với ${{F}_{1}}\left( x \right)=\int{x}{{e}^{ax}}dx$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = x\\ d{v_1} = {e^{ax}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} d{u_1} = dx\\ {v_1} = \frac{1}{a}{e^{ax}} \end{array} \right..$
Ta có ${{F}_{1}}\left( x \right)=\frac{1}{a}x{{e}^{ax}}-\frac{1}{a}\int{{{e}^{ax}}dx}=\frac{1}{a}x{{e}^{ax}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}{{e}^{ax}}+{{C}_{1}}.$
Vậy $F\left( x \right)=\frac{1}{a}{{x}^{2}}{{e}^{ax}}-\frac{2}{a}\left( \frac{1}{a}x{{e}^{ax}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}{{e}^{ax}}+{{C}_{1}} \right)$ $ = \frac{1}{a}{x^2}{e^{ax}} – \frac{2}{{{a^2}}}x{e^{ax}} + \frac{2}{{{a^3}}}{e^{ax}} + C$
Khi đó $F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^3}}}e – \frac{2}{{{a^3}}}e + \frac{2}{{{a^3}}}e + C = \frac{2}{{{a^3}}} + C + 1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{3}}}e=\frac{2}{{{a}^{3}}}+1\Leftrightarrow e=2+{{a}^{3}}$ $ \Leftrightarrow {a^3} = e – 2 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{e – 2}} \approx 0,896$
Câu 4. Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số$y={{e}^{-2x}}?$
A. $y=-\frac{{{e}^{-2x}}}{2}$.
B. $y=-2{{e}^{-2x}}+C\left( C\in \mathbb{R} \right)$.
C. $y=2{{e}^{-2x}}+C\left( C\in \mathbb{R} \right)$.
D. $y=\frac{{{e}^{-2x}}}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\int{{{e}^{-2x}}\text{d}x=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}+C}$.
Suy ra đáp án đúng là A
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9$ là:
A. $\frac{1}{2}{{x}^{4}}-9x+C$.
B. $4{{x}^{4}}-9x+C$.
C. $\frac{1}{4}{{x}^{4}}+C$.
D. $4{{x}^{3}}-9x+C$.
Lời giải
Chọn A
$\int{\left( 2{{x}^{3}}-9 \right)}\text{d}x$$=2.\frac{{{x}^{4}}}{4}-9x+C$$=\frac{{{x}^{4}}}{2}-9x+C$.
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y=\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)$
A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{3}\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+C$.
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{3}\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+C$.
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{6}\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+C$.
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+C$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)\text{d}x}$ $ = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C$
Câu 7. Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $\int{f\left( x \right)g\left( x \right)\text{d}x=}\int{f\left( x \right)\text{d}x.\int{g\left( x \right)\text{d}x}}$.
B. $\int{2f\left( x \right)\text{d}x=2}\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.
C. $\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x=}\int{f\left( x \right)\text{d}x+\int{g\left( x \right)\text{d}x}}$.
D. $\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x=}\int{f\left( x \right)\text{d}x-\int{g\left( x \right)\text{d}x}}$.
Lời giải
Chọn A
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Trên đây là toàn bộ bài viết chia sẻ về các công thức nguyên hàm thường gặp trong toán học lớp 12. Chúc bạn học tập hiệu quả.
